エンジニア、研究者に必須の数値計算法の数々。Excelメニューから希望の計算プログラムを取り出して簡単に計算できます!
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■概要
 4階常微分方程式で表わされる『梁の曲げ問題(1次元)』について、境界要素法を使って近似解を求めます。 この解析では、対象の微分方程式の基本解(グリーン関数)を重み関数とした『重み付き残差表示』において、部分積分を行い、解析容易な基本解についての関係式に置き換えます。

■計算例(1) 両端固定梁の固定端ずれによる応力解析
地震や熱ひずみなどにより、両端固定梁の端がずれたときの梁のたわみ、曲げモーメント、梁表面における応力を求めます。
draw_9-1-1-1
【データ入力】
フォームメニュー(1)両端固定を選択を選択して解析シートを追加し、以下入力します。
1)計算条件:ヤング率、板厚、板幅、スパン(板長さ)、断面2次モーメント(@)
パイプや様々な断面形状の材料も断面2次モーメントを計算して入力することで同様に計算できます。
2)境界条件/指定値(A※片方の固定端ズレが+20mmの場合を計算しています。)
3)荷重分布(Bこの場合は入力なし)
4)内点計算位置(C100箇所以内で任意位置を指定できます)
5)応力計算位置(D任意断面位置を指定。ここでは中心線から+5mmの板上面の応力を計算しています。)

draw_9-1-1-2

【計算結果】
設定値(緑枠)と計算結果(赤枠)は次のようになります。計算フォームでGraphにチェックを入れるとたわみと応力についての計算結果のグラフも表示します。長さ方向中央で引っ張りから圧縮応力に変わり、梁端では応力が7.5MPaになります

draw_9-1-1-3

■計算例(2) 片持ち梁に複数の集中荷重がかかる場合のたわみ、応力解析
片持ち梁の付け根から300mm位置に80kgの重りが乗せられ、また梁先端に下向きに荷重50kgをかけるときの梁のたわみ、応力を求めます。

draw_9-1-2-1
【データ入力】
フォームメニュー(3)一端固定他端自由を選択して解析シートを追加し、以下入力します。
1)計算条件に、ヤング率、板厚、板幅、スパン(板長さ)、断面2次モーメント
2)解析シート上の境界条件/指定値
3)荷重分布(※荷重が分布状になっている場合も100個以内で分布させることができます)
4)内点計算位置(100箇所以内で任意位置を指定できます)
5)応力計算位置(※中心線から+2.5mmの板上面の応力を計算しています)


draw_9-1-2-2

【計算結果】
固定端で応力17MPa(引っ張り)、先端のたわみは0.9mm程度になることがわかります。

■計算例(3) 両端単純支持梁に集中荷重がかかる場合のたわみ・応力解析、厳密解との比較
両端単純支持梁の端から300mm位置に荷重50kgをかけるときの梁のたわみ、応力を求め、理論式から求めた結果と比較します。

draw_9-1-3-1
【データ入力】
フォームメニュー(2)両端単純支持をを選択して解析シートを追加し、以下入力します。
1)計算条件に、ヤング率、板厚、板幅、スパン(板長さ)、断面2次モーメント
 (※特殊形状の断面の場合は、等価な断面2次モーメントを計算して値を入力します)
2)解析シート上の境界条件/指定値
3)荷重分布(※この場合は1点のみ入力)
4)内点計算位置(100箇所以内で任意位置を指定できます)
5)応力計算位置(※板の厚み方向(y方向)へ中心から+2.5mm、すなわち、板上表面の応力を求めます。)


draw_9-1-3-2

draw_9-1-3-3

【計算結果と検証】
板の支持端から300mm付近で応力62MPa、たわみは400mm付近で4.9mmになりました。これを理論式から求めた結果と比較してみます。
下図のように、長さLの両端単純支持板の端からa位置に集中荷重Pが加えられる場合のたわみと曲げモーメントは、材料力学の理論より、次のように与えられています。
draw_9-1-3-4
0≦x≦a 
たわみ      : u=(Pbx/6EIL)*(L2-b2-x2)
曲げモーメント : M=Pbx/L
a≦x≦L 
:たわみ     :u=(Pa/6EIL)*(L-x)*(-x2+2Lxb2-a2)
曲げモーメント :M=Pa*(L -x) /L

この理論式とBEM(1次元境界要素法)による解析結果をグラフに重ね合わせると、上グラフのように両者完全に一致します。荷重分布や境界条件が複雑な場合など、BEMを使うことで計算を正確に効率的に行うことができ、応用利用が期待できます。
注)応力は、曲げモーメント/断面二次モーメントx板厚み方向中心線からの距離(シートP欄)で計算されます。(理論式の詳細は、説明書、参考文献をご参照ください)   


 

 

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